Cone

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.

Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.

Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.


Classificação:

Os cones podem ser divididos em:
----Reto
----Oblíqüo
----Eqüilátero

Reto:

O cone é dito reto quando a sua base é uma circunferência e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto. O eixo é perpendicular á base.

Oblíqüo:

Denomina-se oblíqüo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo é oblíquo ao plano da base.

Eqüilátero:

Um cone circular reto é um cone eqüilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular eqüilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Fórmulas:

O volume, V, de um cone de altura, h, e base com raio, r, é 1/3 do volume do cilindro com as mesmas dimensões, i.e. . O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo, a 1/4 da distância da base ao eixo.A área da superfície de um cone A é dada por A = πr(r + s), ondeseria a altura lateral do cone. O primeiro termo na área da fórmula, πr2, é a área da base; enquanto que o segundo termo, πrs, é a área da superfície inclinada.Desenvolvendo, então, a área total é a área lateral mais a área da base:

Para Triângulos Equilátero: A área da base do cone = A(base) = π r2
Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)2, = ,h2 + r2, logo h2 = 4r2 − r2 = 3r2, assim:h =
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:
V = (1/3) π r3
Como a área lateral pode ser obtida por:A(lateral) = π.r.g = π.r.2r = 2.π.r² então a área total será dada por:A(total) = 3 πr2

Curiosidades:

No ano passado, um dos artigos que atraiu mais leitores no boletim do Springwise foi a pizza em forma de cone, uma invenção italiana.Desde então a Kono Pizza expandiu sua rede, abrindo franquias ao redor do mundo. Mas não é só ela que busca os bilhões de dólares gastos pelos consumidores interessados nessa comida prática e confortável: na India surgiu a Conniza e nos EUA a Crispy Cones, que se apresenta como a líder em 'alimentos dentro de cones'!Há espaço para reinventar e copiar neste mercado! É uma indústria de bilhões de dólares, centenas de milhões de consumidores, e dezeas de países a serem explorados... todos esperando pela primeira loja que lhes oferecerá pizza em cones! Aproveite!

Alguns Exercícios:

1-A altura de um cone circular reto mede o triplo do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é de 8p cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:
a)64pcm b)48pcm c)32p cm d)16p cm e)8p cm

2-Determine o volume e a área total de um cone que tem 8 cm de altura e 6cm de raio da base.

3-Para um cone reto com g = 10cm e r= 6cm, considere a afirmações a seguir e de a soma das corretas:

01) A área lateral é de 50p cm3
02) A área da base e de 36p cm2
04) A área total é de 96p cm2
08) A altura equivale a 5 cm
16)O volume é de 96p cm3

Fontes:http://pt.wikipedia.org/wiki/Cone
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone.html