Cone

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.

Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.

Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.


Classificação:

Os cones podem ser divididos em:
----Reto
----Oblíqüo
----Eqüilátero

Reto:

O cone é dito reto quando a sua base é uma circunferência e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto. O eixo é perpendicular á base.

Oblíqüo:

Denomina-se oblíqüo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo é oblíquo ao plano da base.

Eqüilátero:

Um cone circular reto é um cone eqüilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular eqüilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Fórmulas:

O volume, V, de um cone de altura, h, e base com raio, r, é 1/3 do volume do cilindro com as mesmas dimensões, i.e. . O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo, a 1/4 da distância da base ao eixo.A área da superfície de um cone A é dada por A = πr(r + s), ondeseria a altura lateral do cone. O primeiro termo na área da fórmula, πr2, é a área da base; enquanto que o segundo termo, πrs, é a área da superfície inclinada.Desenvolvendo, então, a área total é a área lateral mais a área da base:

Para Triângulos Equilátero: A área da base do cone = A(base) = π r2
Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)2, = ,h2 + r2, logo h2 = 4r2 − r2 = 3r2, assim:h =
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:
V = (1/3) π r3
Como a área lateral pode ser obtida por:A(lateral) = π.r.g = π.r.2r = 2.π.r² então a área total será dada por:A(total) = 3 πr2

Curiosidades:

No ano passado, um dos artigos que atraiu mais leitores no boletim do Springwise foi a pizza em forma de cone, uma invenção italiana.Desde então a Kono Pizza expandiu sua rede, abrindo franquias ao redor do mundo. Mas não é só ela que busca os bilhões de dólares gastos pelos consumidores interessados nessa comida prática e confortável: na India surgiu a Conniza e nos EUA a Crispy Cones, que se apresenta como a líder em 'alimentos dentro de cones'!Há espaço para reinventar e copiar neste mercado! É uma indústria de bilhões de dólares, centenas de milhões de consumidores, e dezeas de países a serem explorados... todos esperando pela primeira loja que lhes oferecerá pizza em cones! Aproveite!

Alguns Exercícios:

1-A altura de um cone circular reto mede o triplo do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é de 8p cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:
a)64pcm b)48pcm c)32p cm d)16p cm e)8p cm

2-Determine o volume e a área total de um cone que tem 8 cm de altura e 6cm de raio da base.

3-Para um cone reto com g = 10cm e r= 6cm, considere a afirmações a seguir e de a soma das corretas:

01) A área lateral é de 50p cm3
02) A área da base e de 36p cm2
04) A área total é de 96p cm2
08) A altura equivale a 5 cm
16)O volume é de 96p cm3

Fontes:http://pt.wikipedia.org/wiki/Cone
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone.html

Esfera

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Conceituação:

Consideremos um ponto O do espaço e uma medida R(R > 0. Chama-se esfera de centro O e raio R o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R.

• O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores do que o R é chamado de interior da esfera.
• O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a R chamado de superfície da esférica.
• O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são maiores do que R é chamado de exterior da esfera.
Não confunda esfera com superfície esférica. A superfície esférica é apenas a “casca” da esfera; a esfera é a reunião da superfície com o conjunto de pontos interiores.
Dois bons modelos de superfície esférica e esfera são um bolinha de pingue-pongue e uma bola de bilhar, respectivamente.
A bolinha de pingue-pongue é apenas uma “casca” (“superfície esférica”); e a bola de bilhar é maciça (“esfera”)

Posição relativa entre um plano e uma esfera:

Plano secante à esfera
O plano e a esfera têm em comum infinitos pontos que formam um circulo chamado de secção plana da esfera.

Plano tangente à esfera
O plano e a esfera têm em comum um único ponto. O raio é perpendicular ao plano tangente no ponto de tangência.

Plano exterior à esfera

O plano e a esfera não têm ponto em comum.
Volume da esfera e área da superfície esférica O volume V de uma esfera de raio R e a área A da superfície dessa esfera são:

Alguns Exercícios:

1-(UNIFESP_2004) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura.

a) p/2 b) p c) 3p /2 d) 2p e) 3p

2-O volume de uma esfera é de 32 dm3. Considerando p= 3, determinar a área da superfície esferica

3-(Vunesp - modificada ) Um copinho de sorvete, em forma de cone, possui 10 cm de profundidade, e 4 cm de diâmetro no topo, tendo aí colocadas duas conchas semi-esféricas de sorvete, também de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, podemos afirmar que:

01)O volume do cone (copinho) = 40p/3 cm3
02)O volume das duas conchas é de 32p/3 cm3
04)O sorvete transbordará
08)O sorvete não transbordará
16)Os dados são incompatíveis
32)As informações anteriores são falsas

Fontes:http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial23.php
http://www.brasilescola.com/matematica/esfera.htm

Cilindro

Considere dois planos, α e β, paralelos, um circulo de centro O e raio contido num deles, e uma reta r concorrente com os dois.

Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no circulo e no outro plano.

Qualquer segmento paralelo a r, com extremidades nas duas circunferências, é chamado geratriz do cilindro, e o segmento com extremidades nos centros O e O’ dos círculos é denominado eixo do cilindro. A distância entre os planos α e β é a altura h do cilindro.

Classificação:

Um cilindro é classificado segundo o ângulo formado pela geratriz com os planos das bases:- Reto: geratriz perpendicular às bases e igual à altura;- Oblíquo: todo cilindro que não é reto.O cilindro reto é também chamado cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.

Secção meridiana do cilindro
Chamamos secção meridiana de um cilindro, a interseção do cilindro com um plano que contém seu eixo.
Quando a altura de um cilindro reto é igual a 2R, a secção meridiana é um quadradode lado 2R e esse cilindro é denominado cilindro eqüilátero.

Áreas e volume do cilindro reto
A área de cada base do cilindro reto depende do raio R e é dada por:

Temos então que a área total é dada por:

O princípio de Cavalieri também nos permite concluir que o volume do cilindro reto é dado pelo produto da área da base pela altura ou pela geratriz:

Curiosidades Do Cilindro:

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:
1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Alguns Exercícios:

1-(UNIFESP2006) A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo, com uma base no solo, e de um semicilindro.

Dado que o raio da circunferência da base do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume do bloco de concreto, em cm3, é:
a) 11 000 p. b) 10 000 p. c) 5 500 p. d) 5 000 p. e) 1 100 p.

2-(UNIFESP_2003_3dia) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um cilindro circular reto de altura h = 50 cm e raio r = 15 cm. Este recipiente contém 1 litro de água a menos que sua capacidade total.

a) Calcule o volume de água contido no cilindro (use p = 3,14).

b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, introduzida no cilindro e totalmente submersa, faça transbordar exatamente 2 litros de água?

3-Considerando que a altura de um reservatório de água de forma cilíndrica é de 6 metros e o raio da base mede 2 metros. Determine a soma das proposições corretas:

01)A área da base mede 4pm2
02)A área lateral é de 24p m2
04)A área total equivale a 30p m2
08)O volume é igual 24p m3
16)Neste reservatório de água cabem no máximo 24000p litros
32)Este é um cilindro eqüilátero

Fonte:http://www.algosobre.com.br/matematica/geometrial-espacial-cilindro.html